SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

 
Los sistemas de ecuaciones lineales son aquellos conjuntos de dos o más ecuaciones que tienen una o más incógnitas relacionadas entre sí porque satisfacen todas las ecuaciones del conjunto.
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El objetivo de resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen las igualdades al mismo tiempo, y para ello se distinguen tres métodos representativos.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Para resolver utilizando el método de reducción se precisa seguir los siguientes pasos:

 

1. Se toman las ecuaciones y se escriben en orden respecto a sus incógnitas (a veces es necesario utilizar álgebra).

 
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2. Se identifica si hay elementos idénticos de signos contrarios entre las ecuaciones, si no los hay se multiplica cada ecuación por el primer número de la otra ecuación, uno de ellos con signo contrario (en este caso el 10 y el -2).

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3. Una vez identificados los elementos idénticos y opuestos de signo, o bien, hecha la multiplicación por los primeros dígitos, el paso siguiente es operar los elementos de ambas ecuaciones del mismo tipo.

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4. De la ecuación resultante se despeja mediante álgebra la única variable que aparece (en este caso la x porque el cero multiplica la y).

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5. Una vez encontrada una de las variables se sustituye en una de las ecuaciones (puede ser cualquiera) para encontrar la variable faltante.

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Finalmente se encuentran los valores para ambas incógnitas. En este ejercicio particular el término 7y  está  en ambas ecuaciones y por tanto no es necesario hacer la multiplicación como se mostró en los recuadros azules. En general  el procedimiento mostrado en los recuadros azules se puede utilizar siempre, incluso si se repiten términos.

 

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución es otro de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, aunque para cualquier método que se utiliza los resultados serán los mismos, a veces es conveniente usar uno u otro.

Para resolver utilizando el método de sustitución se precisa seguir los siguientes pasos:

 

1. Como primer paso se requiere despejar una de las incógnitas en solo una de las ecuaciones.

 
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2. Una vez despejada la incógnita de una de las ecuaciones, se reemplaza la incógnita seleccionada en la ecuación que NO se utilizó poniendo dentro de paréntesis la expresión de la igualdad.

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3. En el paso anterior se obtuvo una ecuación con una sola incógnita, por lo que es necesario resolver algebraicamente la ecuación para encontrar el valor de esa incógnita, lo que en otras palabras significa resolver la ecuación de primer grado.

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4. Con el valor de la incógnita encontrado del paso anterior se vuelve a la expresión obtenida en el paso 1 y se reemplaza el valor de la incógnita y.

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De esta manera se han obtenido los valores correspondientes de cada incógnita x y y.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Para resolver utilizando el método de igualación se precisa seguir los siguientes pasos:

  1. El primer paso para encontrar las incógnitas de un par de ecuaciones lineales con este método es despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita.

 
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2. Para el siguiente paso la expresión a la derecha de cada igualdad encontrada para x en cada recuadro azul se iguala y se resuelve el sistema para la única variable que queda (en este caso se despeja y).

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3. Finalmente para encontrar la otra incógnita se toma una de las expresiones encontradas en el paso 1 (puede ser cualquiera) y se reemplaza el valor encontrado del punto anterior.

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De esta manera se han obtenido los valores correspondientes a cada incógnita.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

 

Las funciones cuadráticas son funciones de variable real escritas de la forma:

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Es decir que el mayor grado de una función cuadrática es 2.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola; si el valor de a es positivo entonces la parábola abre hacia arriba, y si por el contrario es negativo la parábola abre hacia abajo.

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El punto mínimo o máximo de una parábola, dependiendo de si abre hacia arriba o hacia abajo, se denomina vértice y para calcularlo se utiliza la expresión mostrada a continuación.

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Ilustración:

Los elementos de la función cuadrática

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son:

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Coordenadas del vértice:

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Puntos de corte con el eje x: (-2,0) y (2,0)

 

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función es f es creciente en un intervalo si para todo x1 y x2 en el intervalo se cumple que:

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FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es decreciente si para todo x1 y x2 en el intervalo se cumple que:

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FUNCIONES PERÍODICAS

 

Una función f(x) es periódica si existe un número real T llamado periodo tal que para todo x que pertenece al dominio de f se cumple que:

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La grafica de una función periódica se repite con las mismas características en iguales intervalos del dominio. Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones trigonométricas como el seno y el coseno.

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