VECTORES

 

El álgebra vectorial es un área de las matemáticas muy importante para la física, es de hecho una herramienta fundamental  y uno de sus conceptos representativos es el de dirección.

A lo largo de una línea recta se encuentra la posibilidad de mover un punto en uno de dos sentidos opuestos, y cada uno de estos sentidos está determinado por un signo positivo o negativo. Cuando se establece el signo de la línea recta, se dice que la línea está orientada;  un plano cartesiano precisamente consiste en un par de líneas orientadas  X y Y que definen una dirección, luego  la dirección de cualquier otra línea orientada respecto al plano está determinada por el ángulo entre la línea de referencia y la que se quiere indicar. El ángulo se mide en la dirección contraria a las manecillas del reloj.

Ilustración:

Cuando se quiere representar una línea orientada (todavía no definido como vector)  en una dirección opuesta determinada por el plano utilizado antes, entonces el ángulo será θ + 𝝅, siendo   𝝅 = 180°.

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En términos generales se define tres líneas que determinan el sentido para las tres dimensiones espaciales en un problema físico, y por consecuente la dirección de otra línea orientada en el plano queda descrita por dos ángulos θ  y   φ

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ESCALARES Y VECTORES

 

Se reconocen como cantidades escalares  a las que se determinan completamente por su magnitud y una unidad. La temperatura, la presión, la masa, el volumen o la densidad son ejemplos de magnitudes escalares, solo se requiere conocer la medida de cada una para especificar la propiedad correspondiente.

A diferencia de las cantidades escalares, los vectores requieren de una característica adicional a la magnitud para estar completamente determinados, la dirección. Cantidades  como el desplazamiento de un cuerpo, la velocidad, la aceleración o la fuerza, quedan determinas completamente cuando se especifican la magnitud y la dirección de cada cantidad.

Los vectores gráficamente se representan con segmentos de línea orientados en la misma dirección del vector  y con la longitud proporcional a la magnitud del mismo; textualmente se identifican con una letra cualquiera como       o  y sus magnitudes como V o |V|.

Respecto a los vectores se pueden identificar algunas propiedades importantes:

-Un vector unitario es un vector con magnitud  1.

-Un vector V paralelo a otro vector u se puede expresar como V = Vu .

-El negativo de un vector es otro vector con la misma magnitud y dirección opuesta.

-Si se define un vector unitario u y V = Vu, además V’ es paralelo a V, entonces  V’ = V’u.  Siendo así, si ʎ=V/V’ , entonces   V = ʎ V’ .

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COMPONENTES DE UN VECTOR

 

Un vector siempre puede componerse de la suma de otros dos o más vectores denominados componentes, y las posibilidades de esta composición son infinitas. Cuando se utilizan dos vectores mutuamente perpendiculares como componentes del vector, se habla de componentes rectangulares y son las que suele usarse en los problemas de física; cada componente rectangular de los vectores se escribe entonces en términos de sus ángulos como

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Finalmente si se observa la relación cuando V   = 1, se obtiene un vector unitario U cuyas componentes son los vectores unitarios Ux y Uy  . Es fácil percibir que las componentes del vector son las proyecciones del mismo en una dirección correspondiente, y en este caso esas componentes son dos vectores mutuamente perpendiculares.

Cuando se estudia el caso en tres dimensiones las ecuaciones que determinan cada componente vienen dadas como

2

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También se pueden extraer los denominados cosenos directores  de las ecuaciones para Vx , Vy  y Vz en términos de los ángulos que forman con los ejes X, Y y Z respectivamente. Si se escribe cada componente como se indicó, entonces:

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Ilustración:

Si se requiere encontrar la posición relativa entre dos puntos P1  y P2 se efectúa la diferencia vectorial entre la posición de cada punto en el espacio  sumando uno de los vectores con el negativo del otro.

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Como

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Entonces la magnitud del vector relativo entre los puntos del espacio, o bien la distancia entre los dos será

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OPERACIONES CON VECTORES

 

ADICIÓN DE VECTORES

Como las cantidades escalares están descritas completamente por un número acompañado de su unidad, se operan de manera algebráica; por ejemplo 6 m más 12 m es simplemente (6 + 12) m = 18 m, o 2 m x 5 m = 10 m  ; mientras que las cantidades vectoriales se suman por componentes de vector o utilizando el método geométrico*.

El Método geométrico consiste en hacer una construcción gráfica de los vectores y seguir un grupo de reglas que determinan el resultado de la operación. Para entender este método se recurre a un ejemplo físico.

2

Ilustración: En un laboratorio una partícula se mueve desde una posición A hasta otra posición en el punto B cuando ha transcurrido una cierta cantidad de tiempo, y tiempo después se mueve hasta la posición C. Los desplazamientos desde los puntos A hasta B y B hasta C están representados por los vectores d1 y d2 respectivamente, y la posición final correspondiente a la suma de cada desplazamiento d1 + d2 = d es entonces como se muestra en la figura.

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Para sumar vectores entonces:

  1. Se traza uno de los vectores a operar.

  2. Se traza el siguiente vector de modo que el punto de inicio coincida con el final del primer vector.

  3. El resultado de la suma entre ambos vectores será el vector que va desde el punto de inicio del primer vector hasta el final del siguiente.

 

Este procedimiento se puede extender para cualquier cantidad de vectores siguiendo la indicación 2  para cada vector consecutivo y al igual que en la indicación 3 el vector que va desde el inicio del primer vector hasta el final del ultimo será el resultado de la suma.

También se pueden sumar por componentes cualquier cantidad de vectores

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Así se obtiene para cada componente del vector V

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El ángulo en los argumentos de las funciones trigonométricas corresponde al ángulo entre Vi  y el semieje positivo X .

cos          y  sen         son las componentes a lo largo de cada eje X  y Y.

 

Al calcular la suma de dos vectores con el método geométrico se busca encontrar la magnitud y dirección del resultante para tener una descripción analítica del mismo.

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Considerando la suma representada en la figura, se encuentra que (AC)  = (AD) +(DC)   por el teorema de Pitágoras. Luego

AD =AB + BD = V1  + V2  cos⁡θ

DC=V2 sen θ

Por lo que

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Entonces la magnitud del vector resultante será

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Por su lado la dirección del vector  se determina conociendo el ángulo α. En la figura se ve que para el triángulo ACD,    CD = AC sen α  por la definición de la función seno en trigonometría; mientras que en el triángulo BDC, CD = BC sen θ, por lo que igualando cada expresión

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Luego también BE =  V1 sen α  = V2 sen β , así

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Entonces

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Que es la ley del seno.

Con las dos ecuaciones encontradas se tienen en general la magnitud y dirección de cualquier par de vectores. En el caso particular de tener dos vectores perpendiculares el ángulo                  con π =180˚ y las expresiones se simplifican.

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DIFERENCIA ENTRE VECTORES

 

La suma de vectores tiene una analogía con la suma algebraica, y es que la diferencia entre dos cantidades es la suma de uno con el negativo del otro, así es también la diferencia entre vectores. Si se quiere restar el vector V2 al vector V1 entonces

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Es decir que la diferencia es anti conmutativa, pues multiplicando toda la ecuación por -1 se tiene

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Finalmente, la magnitud de la diferencia

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PRODUCTO ESCALAR

 

Una operación diferente a la de sumar vectores es la multiplicación escalar entre ellos, que se diferencia del producto vectorial de manera importante. El producto escalar o producto punto entre dos vectores consiste en hallar la multiplicación de las magnitudes de los vectores con el coseno del ángulo que se forma entre los dos.  Así el vector A multiplicado escalarmente por B se escribe como

A∙B=AB cos ⁡θ

Las propiedades del producto escalar se pueden probar sin dificultad valiéndose de las propiedades de los números reales, y se enumeran a continuación

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De la definición y las propiedades se sigue entonces que

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A nivel de componentes, el producto escalar se puede escribir también como

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Dando paso a otra forma de definición para el producto punto como

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De aquí puede verse que

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Y en general para un vector que se compone de la suma de otros

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PRODUCTO VECTORIAL

 

Otra operación importante entre vectores es el producto vectorial, definido como la multiplicación que da como resultado el vector perpendicular al plano definido por los dos vectores operados en la dirección de avance de un tronillo de rosca que ha sido rotado desde el vector A hasta el otro B. La expresión de A multiplicado vectorialmente por B es

A ×B= C

La regla de la mano derecha permite establecer la dirección del vector C, esta consiste en colocar el pulgar, índice y dedo mayor de la mano derecha en la siguiente posición

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Con el dedo índice y mayor apuntando en las direcciones de cada vector A y B en ese orden, el dedo pulgar indica la dirección del vector C. Esto quiere decir que el producto B x A da en el sentido contrario.

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La norma del producto vectorial o la magnitud del vector resultante se define en analogía al producto escalar como

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Con Ɵ el ángulo entre los dos vectores.

El producto entre las diferentes componentes unitarias ui será

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El producto vectorial o producto cruz se define utilizando un determinante*, de tal forma que se tiene que una combinación particular entre las componentes de los vectores operados que determinan los valores de las componentes del vector resultante.

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*Un determinante consiste en la combinación de una forma simétrica y particular de un grupo de cantidades determinadas por la asignación indicada al interior de las barras.

Finalmente, de la definición del producto vectorial se derivan las siguientes propiedades

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Usando la propiedad 5 se encuentra la magnitud del producto vectorial

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REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE

Se supone una superficie plana con una periferia L orientada en la dirección contraria a las manecillas del reloj.  La superficie será representada por un vector de magnitud equivalente al área de la superficie y orientada en la dirección perpendicular a la misma, el sentido del vector va dirigido por la regla de la mano derecha siguiendo el sentido de orientación de la periferia.

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Cada componente del vector de superficie S es la proyección a lo largo de los ejes  X, Y y Z del plano de coordenadas.

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Cuando las superficies no son planas, se pueden dividir en secciones muy pequeñas prácticamente planas y se representan con vectores Si , por lo que la representación completa de la curva será la suma de las secciones de superficie

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Para la situación descrita antes, el área de la superficie no es igual a la magnitud del vector S, pero las magnitudes de sus tres componentes son iguales a las áreas de las proyecciones de la superficie en los tres planos coordenados.

Finalmente, la representación vectorial de una superficie cerrada es cero, pues los vectores pequeños que representan la superficie total se anulan por la forma cerrada de la superficie.