SISTEMAS CONSERVATIVOS

 

Existen fuerzas en la naturaleza que dependen solo de los estados iniciales y finales de un cuerpo para hacer trabajo (como posición final y posición inicial), y el trabajo que realizan es siempre el mismo sin importar las trayectorias que pueden seguir entre esos dos estados. A los sistemas que cumplen esta propiedad se les denomina sistemas conservativos y a las fuerzas también fuerzas conservativas.

 

Ilustración

Se desea calcular el trabajo realizado al lanzar una moneda verticalmente hacia arriba y regresar a su posición de lanzamiento.

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La única fuerza que actúa sobre la moneda, justo después de ser lanzada, es el peso dirigido hacia abajo y por tanto negativo.

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El trabajo realizado por el peso es negativo indicando que la moneda se mueve utilizando la energía adquirida en el lanzamiento.

 

Ahora, el trabajo realizado cuando la moneda se mueve hacia abajo tiene que ser positivo, pues tanto la gravedad como el movimiento van en la misma dirección.

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Es decir que el trabajo total realizado por acción del peso en el movimiento de la moneda de subida y bajada es la suma de los trabajos efectuados en los dos desplazamientos.

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El trabajo negativo hecho sobre la moneda es numéricamente igual al trabajo realizado por el peso en la subida, en consecuencia, la suma de ambas cantidades es igual a cero.

 A este tipo de fuerzas, como el peso, se le conoce como fuerza conservativa porque el trabajo efectuado en un viaje completo, volviendo al mismo punto, es cero. En este caso el sistema conservativo es el formado por la moneda y la tierra despreciando efectos de rozamiento.

El trabajo realizado por una fuerza es equivalente al cambio en la energía cinética del cuerpo, por lo que en el caso de un sistema conservativo donde el trabajo sea igual a cero, la variación de la energía cinética es también cero, dejando la conclusión de que la energía cinética al inicio del viaje es igual a la energía cinética al final del mismo.

ENERGÍA MECÁNICA

 

Las primeras nociones de la conservación de la energía aparecieron como consecuencia de los conocimientos adquiridos sobre la relación del calor y el trabajo; fue Benjamin Thompson o Conde Rumford (1753-1814) el primero en estudiar la relación cualitativa entre el calor y el trabajo al medir el calor que aparece cuando se taladra un tubo de cañón a través del incremento en la temperatura de cierta cantidad de agua.

El físico ingles Jaime Prescott Joule trabajó fuertemente por encontrar una forma de conservación de la energía en las acciones térmicas, químicas, eléctricas y mecánicas, sin embargo, el mérito del descubrimiento de la conservación de la energía se le atribuye al físico alemán Hermann von Helmoltz, quien en 1847 intervino en la sesión de la sociedad física de Berlín sobre la conservación de la energía. La suma de las energías potencial y cinética de las partículas que componen un cuerpo o un sistema, no se puede alterar, a no ser que estén sometidas a acciones exteriores.

Los experimentos e investigaciones posteriores a lo mencionado por Helmoltz a finales de los años cincuenta consolidaron la conservación de la energía como una ley fundamental de las ciencias naturales.

La energía mecánica se conserva, la energía potencial se transforma en cinética y/o la energía cinética se transforma en energía potencial, y esa ley de conservación se puede utilizar para estudiar problemas en física.

 

Ilustración

Se deja caer una bolsa de arena de masa m desde un globo aerostático a la altura de un edifico que está a su lado para estudiar el efecto de la energía en todo el recorrido.

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Al pasar por el noveno piso, situado a una altura h1 con respecto al suelo, la bolsa de arena tendrá una velocidad v1. La energía potencial y cinética en este punto será:

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Por su parte, cuando pasa por el cuarto piso situado a una altura h2 lleva una velocidad v2 mayor que v1, y las energías potencial y cinética serán:

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El trabajo realizado por la fuerza neta, es decir el peso, corresponde a la variación de la energía cinética de la bolsa de arena, pero también es igual a la fuerza por el desplazamiento.

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Al juntar las dos ecuaciones en los recuadros azules y poner todos los subíndices 1 y 2 en cada lado de la ecuación:

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La suma de las energías en los dos puntos de la trayectoria de caída siempre es la misma, es una constante, y a esa constante se conoce como energía mecánica.

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Cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica E se mantiene constante, lo que en otras palabras significa que la energía se conserva.

Ilustración:

Se quiere determinar la altura mínima desde la cual una esfera debería empezar a caer para que complete el movimiento circular que se muestra a continuación. Todo esto suponiendo que la esfera no rueda y no hay ninguna fricción.

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La esfera se suelta en el punto A a una altura h sobre la base de la circunferencia. Cuando la esfera está cayendo gana energía cinética, pero la pierde al convertirse en energía potencial cuando está subiendo por la circunferencia. En cualquier punto de la trayectoria solo hay dos fuerzas que actúan sobre la esfera, su peso mg, y la fuerza que ejerce el riel sobre la esfera que siempre apunta hacia el centro de la circunferencia como consecuencia del empuje.

En el punto más alto de la circunferencia las dos fuerzas apuntan hacia el centro O y la aceleración de la esfera será negativa porque en la subida va perdiendo velocidad.

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Aquí R es el radio de la circunferencia.

La fuerza F en el punto B no puede apuntar hacia arriba, es decir, tener un signo diferente al peso, por lo que la única forma de hacer que la suma de las fuerzas sea mínima, y por tanto la velocidad sea mínima (que es directamente proporcional a la suma de las fuerzas mirando la ecuación anterior), es con F=0. Entonces

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Si la velocidad es menor que el valor calculado, el peso es mayor que la fuerza centrípeta, y la esfera se separará del riel antes de llegar al punto B.

La altura en el punto A se puede encontrar utilizando la conservación de la energía mecánica. En el punto A la energía mecánica es:

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En el punto B la altura es el doble del radio de la circunferencia y la velocidad es la que ya se ha calculado.

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Igualando las dos expresiones de E:

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Lo utilizado en este ejercicio es correcto siempre y cuando las fuerzas de fricción no esten presentes en el ejemplo, o al menos sean despreciables.

MÁQUINAS

Las máquinas son los instrumentos que se utilizan para aplicar ventajosamente las fuerzas, ya sea amplificando el valor de algunas fuerzas muy pequeñas, cambiando la dirección y el sentido de otras, o transformando una forma de energía en otra.

En general en las máquinas se distinguen la fuerza motriz (F), la resistencia (Q) y un punto eje o superficie de apoyo, y se pueden clasificar en máquinas simples y máquinas compuestas.

Las maquinas simples solo tienen un punto de apoyo, mientas que las máquinas compuestas resultan de la combinación de múltiples maquinas simples, y por tanto permiten identificar varios puntos de apoyo.

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La ley de la conservación de la energía demuestra que la ganancia en el trabajo, o bien, la aparición de energía de la nada, es imposible; el trabajo que se obtiene no es mayor que el trabajo efectuado en la entrada de la máquina, el trabajo siempre es equivalente, o más acertadamente menor, pues siempre hay una pérdida de energía consecuente de la fricción o rozamiento del sistema.

Las máquinas simples pueden amplificar la fuerza, pero hay una condición que compensa el efecto de reducción de esfuerzo, y es que las fuerzas pequeñas se aplican a distancias grandes para obtener fuerzas grandes a distancias pequeñas del punto de apoyo; esto permite que, en el caso de una palanca, por ejemplo, se igualen los torques.

En el funcionamiento de las máquinas se identifican dos aspectos importantes que determinan la utilidad de las máquinas, la ventaja mecánica y el rendimiento o eficiencia.

VENTAJA MECÁNICA

La ventaja mecánica (VM) corresponde a la relación establecida entre la fuerza ejercida por la maquina sobre una resistencia y el valor de la fuerza que el operador aplica a la máquina.

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Esta ventaja mecánica puede ser ideal o práctica. La ventaja mecánica ideal corresponde al caso hipotético en la que la energía que se utiliza de entrada es exactamente igual a la energía en la salida, que sucede si se desprecian el peso de las partes de la máquina y el rozamiento. Si por el contrario son tomados en consideración los efectos de rozamiento y el peso de las partes, la ventaja mecánica que se calcula será práctica o real. Cuanto más cerca este la ventaja práctica de la ideal más ceca estará la máquina de la perfección.

EFICIENCIA

El rendimiento o la eficiencia de una máquina es la relación entre las dos expresiones de ventaja mecánica, la ventaja ideal y la ventaja práctica.

 
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La eficiencia de una maquina puede llegar hacer, idealmente, perfecta, y en ese caso la eficiencia sería del 100 %, sin embargo, la realidad es que la eficiencia siempre es menor que uno, o porcentualmente expresado, menor al 100 %.

 

Asociado a cada cuerpo o partícula está la masa, y ese valor de la masa se considera constante, siempre y cuando el cuerpo se mueve a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz. Ahora, cuando los cuerpos se mueven adquieren energía cinética y puede asociarse una magnitud física que se conserva, así como la energía mecánica, y esa magnitud denominada momentum permite resolver problemas de mecánica.

IMPULSO

Siempre que dos cuerpos interactúan, sin importar que ocurra en intervalos muy cortos de tiempo, se aplica lo que se conoce como impulso. En el caso más simple el impulso es el producto entre una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo (vector), y el intervalo pequeño de tiempo en que ocurre la interacción (escalar).

 

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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El impulso es un vector cuya dirección y sentido corresponden a los de la fuerza, además mide la acción de la fuerza sobre un cuerpo o una partícula durante un intervalo de tiempo. La unidad del impulso en el sistema MKSG es el Newton por segundo (N s).

MOMENTUM

 

Si se supone que una partícula de masa m se mueve con velocidad v1 y una fuerza constante actúa sobre ella durante un intervalo pequeño de tiempo, su velocidad cambiará como consecuencia del impulso a una velocidad v2.

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El resultado conseguido expresa el impulso como la variación de una cantidad física equivalente al producto de la masa, que se mantiene constante, y la velocidad; esta magnitud dependiente solo de la masa y la velocidad se denomina momentum.

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El momentum, o cantidad de movimiento de una fuerza, es un vector con la misma dirección y sentido de la velocidad de la partícula, y en el sistema internacional MKSG su unidad es el kilogramo por metro sobre segundo (Kg m/s).

El impulso de una fuerza ejercida sobre una partícula durante un intervalo de tiempo es igual a la variación del momentum de la partícula en ese intervalo de tiempo.

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Así como el trabajo se relaciona con la variación de la energía cinética, el impulso se relaciona con la variación del momentum.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

 

De la ley de la inercia de Newton se reconoce inmediatamente que una partícula que cambia su velocidad o su momentum no es una partícula libre; si se consideran dos partículas libres aisladas idealmente del resto del universo, la única interacción que puede haber es entre ellas dos y luego de la interacción las velocidades de ambas cambian, pero la suma del momentum de ambas es el mismo para el sistema de dos partículas en cualquier instante de tiempo. En el sistema de esas dos partículas el momentum se conserva.

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El momentum total se conserva siempre que en un sistema aislado (como el de dos partículas) no actúen fuerzas externas, esta es una ley universal y fundamental de la física. El momentum se conserva incluso cuando hay fuerzas disipativas como el rozamiento, siempre y cuando pertenezca al mismo sistema.

La conservación del momentum se utiliza para encontrar nuevas partículas. Cuando la conservación del momentum parece violarse en un experimento, el físico busca una partícula desconocida que no ha tomado en consideración, es así como se ha descubierto la existencia del neutrón, el neutrino, el fotón y muchas otras partículas fundamentales.

Matemáticamente la conservación del momentum se escribe como una sumatoria.

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La expresión anterior implica que el cambio del momentum de una partícula es opuesto al cambio de momentum del resto del sistema en el mismo intervalo de tiempo. En el caso de una molécula de hidrógeno aislada (dos electrones y dos protones), por ejemplo, el cambio del momentum de uno de los electrones es igual y opuesto a la suma del momentum del otro electrón y los dos protones.

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El momentum perdido por una de las partículas interactuantes es igual al momentum ganado por las demás partículas del mismo sistema. Cuando solo se tiene un cuerpo o una partícula, la conservación del momentum se refleja en la ley de la inercia.

Ilustración:


Un revolver de 0,80 kg de masa dispara una bala de 0,016 kg de masa con una velocidad de 700 m/s y se desea encontrar la velocidad de retroceso del revolver en un disparo.

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El sistema bala-revolver se considera un sistema aislado en el que solo hay interacción de los dos objetos, en consecuencia, antes del disparo la bala y el revolver encuentran en reposo con momentum cero cada uno. Por conservación del momentum, la suma de los momentum de la bala y el revolver debe ser igual a cero en el momentum inicial del sistema, y exactamente igual después del disparo.

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Después de la explosión la bala se desplaza hacia adelante con un momentum de 11,20 Kg m/s.

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Luego el momentum del revolver es de igual magnitud, pero sentido opuesto a la bala:

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Al igualar ambas expresiones para el momentum del revolver:

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La velocidad de retroceso del revolver será de 14,0 m/s.

 

Ilustración:

Un carrito de 2 kg de masa se mueve  horizontalmente sobre una mesa sin rozamiento a una velocidad de 0,2 m/s, y de repente  un ladrillo con masa de 2 kg cae libremente dentro del carrito cambiando su velocidad.

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Aunque el ladrillo no tiene ningún movimiento horizontal, cuando toca el fondo del carrito aparece una fuerza de rozamiento en dirección contraria al desplazamiento del carrito y le imprime una aceleración al ladrillo en ese sentido mientras que el carrito pierde velocidad por la fuerza contraria.

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Luego de un instante, las velocidades del ladrillo y el carrito se igualan como consecuencia de la insuficiencia de la velocidad reducida del carrito para vencer el rozamiento con el ladrillo. El momentum del sistema ladrillo-carrito se conserva desde el momento inicial en que el ladrillo esta por caer al carrito hasta cuando se mueven con la misma velocidad,  por ley de conservación se puede encontrar la velocidad de ambos al final.

Antes de que el ladrillo toque el carrito:

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Después de que el ladrillo toque el carrito:

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Finalmente la conservación del momento dice que:

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La velocidad del carrito y el ladrillo moviéndose juntos es de 0,1 m/s.