LEYES DE KEPLER

 

Desde los tiempos de la antigua física, cuando se consideraba también filosofía, el hombre reconoció la existencia de siete astros que se movían en el cielo entre las estrellas, el sol, la luna, mercurio, venus, marte, júpiter y Saturno, varios de los cuales se denominaron planetas, todos excluyendo al sol y la luna. Planeta viene de la palabra griega “errante” o “vagabundo”, y  se llamaron así porque su movimiento se observaba irregular cuando se observaba con atención, lo que de hecho  atrapó la curiosidad de muchos. En la antigüedad existían dos modelos para describir el movimiento de los cuerpos celestes, uno en que la tierra es el centro del universo, el modelo geocéntrico, y el otro en el que el sol es el centro del universo, el sistema heliocéntrico; en ambos sistemas propuestos los planetas se movían en orbitas circulares.

Johannes Kepler (1571-1630), un astrónomo y matemático alemán, obtuvo los datos astronómicos recopilados por Tycho Bahe (1546-1601) de casi 20 años sobre la posición de los planetas, y trabajó sobre esa información para finalmente encontrar que las órbitas de los planetas realmente son elípticas, con lo que formuló las famosas tres leyes de Kepler.

PRIMERA LEY DE KEPLER

La primera ley de Kepler es la ley de las orbitas elípticas e indica que los planetas tienen orbitas elípticas* y el sol se encuentra en uno de sus focos.

Imagen35.png

*Una elipse se define como el conjunto de puntos sobre un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos  se mantiene constante. En la imagen los dos puntos fijos son F1 y F2, y p representa cualquier punto sobre la curva que define la elipse.

Imagen36.png
ecuación41.png

En la elipse, los segmentos a y b se denominan semieje mayor y semieje menor respectivamente, y permiten determinar lo que se denomina excentricidad e.

ecuación42.png

La excentricidad siempre es mayor que cero o menor que uno; cuando e está muy cerca de 0 la elipse es casi una circunferencia, y cuanto más cerca este del 1 más larga y achatada será.

Imagen37.png

SEGUNDA LEY DE KEPLER

La segunda ley de Kepler es conocida como la ley de las áreas iguales. Esta ley indica que el radio vector que une  el sol y un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Imagen38.png

Para que se cumpla esta condición es necesario que la velocidad incremente en la medida que se acerca al sol, pues suponiendo que el planeta de la figura tarda el mismo tiempo recorriendo las curvas S1, S2 y S3 que forman las áreas barridas sombreadas iguales, entonces, como la curva S1 es mayor que S2 y S2 es mayor que S3, las velocidades tienen que ser mayor en S1 que en S2, y mayor en S2 que en S3.  De hecho, en el perihelio, el punto de la órbita del planeta más cercano al sol, la velocidad es máxima, y en el afelio, el punto de la órbita más lejano del sol, la velocidad es mínima.

                                                     

TERCERA LEY DE KEPLER

La tercera ley de Kepler es una relación de proporción entre el periodo de revolución de los planetas y la distancia promedio al sol.

ecuación43.png

La relación indica que la razón entre el periodo de revolución y el cubo de la distancia al sol de los planetas es constante, o bien que el cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de la distancia.

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

 

Isaac Newton es conocido por sus aportes incalculables en la ciencia, principalmente en el cálculo y la física. Nació en 1642, el mismo año en que murió Galileo Galilei, y desarrolló su trabajo sobre los descubrimientos en astronomía  ya hechos por Copérnico, Kepler y Galileo, e hizo de estos trabajos una estructura coherente que fundamentó la física.

Newton logró dar explicación a múltiples problemas del movimiento, entre los que se encuentra  el movimiento de los cuerpos celestes. Él entendió  que  como la luna se mueve en trayectorias casi circulares debía existir una aceleración y por tanto una fuerza que la forzara a mantenerse en su órbita, calibrada perfectamente  de tal manera que no fuera muy pequeña para dejar escapar la luna de la órbita, pero no tan grande como para precipitarse sobre la tierra. La respuesta acerca del origen de esta fuerza, dicen que la encontró cuando una manzana cayó sobre su cabeza y lo hizo pensar que la misma fuerza que hace caer las manzanas de los árboles y todas las demás cosas en la tierra, atraía también a la luna.

Newton propuso una expresión que relaciona las masas de los cuerpos que interactúan (como la tierra y la luna) y la distancia que los separa. Todo esto lo hizo a partir de los trabajos de Kepler y Galileo que mediante una mecánica unificada estableció que este tipo de comportamientos se extiende desde la materia terrestre hasta la materia celeste.

Muy acertadamente Kepler hizo una descripción de las orbitas planetarias en forma de elipses, sin embargo se hacen aproximaciones como circunferencias dado que estas trayectorias son muy poco excéntricas.

Imagen39.png

Bajo esta consideración, la segunda ley de Newton permite encontrar una relación de la velocidad tangencial y la aceleración:

ecuación44.png

Luego:

ecuación45.png

Siendo m la masa de un objeto (un planeta) que orbita alrededor del sol; y r la distancia del objeto al sol.

La velocidad del objeto corresponde a la de un punto que se mueve sobre una circunferencia con periodo T:

ecuación46.png

Luego:

ecuación47.png

Finalmente juntando las dos ecuaciones de los recuadros azules:

ecuación48.png

Utilizando la tercera ley de Kepler

ecuación49.png

K es una constante de proporcionalidad. Juntando las expresiones para F y T:

ecuación50.png

El término que aparece entre paréntesis es constante, además se ve que la fuerza del sol sobre el objeto es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

 

Por la tercera ley de Newton la acción realizada por la fuerza que atrae el objeto hacia el sol tiene una reacción de igual magnitud pero sentido contrario, y esta fuerza es la fuerza que ejerce el objeto o planeta sobre el sol, siendo necesario que contenga el valor de la masa del sol también para que se una relación universal y tenga la misma forma que la fuerza F de acción. Por tanto:

ecuación51.png

Por la tercera ley de Newton:

ecuación52.png

De la igualdad anterior se obtiene:

ecuación53.png

Por conveniencia se denomina

ecuación54.png

Entonces

ecuación55.png

Y volviendo a la expresión para la fuerza de reacción:

ecuación56.png

Al final ambas fuerzas, tanto la fuerza de acción como la fuerza de reacción, dan como resultado la misma fuerza en magnitud. La fuerza de gravitación para dos objetos cuales quiera es la propuesta por Newton:

ecuación57.png

LA MEDIDA DE LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Para medir la constante de gravitación universal se utilizó lo que se denomina una balanza de torsión desarrollada en un experimento por Henry Cavendish en 1789. Puede parecer que conociendo la expresión de la fuerza podría calcularse la constante de gravitación universal a partir de mediciones de la fuerza entre dos objetos, pero siempre la tierra va a distorsionar el resultado deseado;  si por otro lado se calculara a través de la interacción entre la tierra y cualquier otro objeto, sería necesario conocer la masa de la tierra, y en aquellos tiempos de la ecuación ese valor era desconocido. Por todo lo mencionado antes el valor de esta constante se obtuvo utilizando la balanza de torsión.

 La balanza consiste en ubicar cuatro esferas, dos de las cuales tienen masas mucho más grandes que las demás que se encuentran móviles sobre una plataforma. Las esferas más grandes se encuentran fijas,  y las pequeñas están unidas por una varilla que a su vez es sostenida por un hilo del que cuelgan. La atracción de las esferas grandes y las pequeñas genera un giro en la varilla y una torsión del hilo, y mediante un haz de luz que se refleja en un espejo adherido al hilo se mide al ángulo de giro para finalmente obtener el torque de la fuerza y por consiguiente la constante G.

Imagen40.png

El valor que se utiliza actualmente para esta constante es:

ecuación58.png

MEDICIÓN DE LA MASA DE LA TIERRA

Considérese un objeto de masa m en la tierra; este será atraído por la tierra con una fuerza W equivalente a su peso, sin embargo, si se piensa en la tierra como si su masa se encontrara concentrada en un punto justo en el centro de la misma, la fuerza de interacción gravitacional se puede igualar al peso del objeto, siendo R el radio de la tierra.

ecuación59.png

Si son conocidas la aceleración de la gravedad, la constante G de la gravitación universal y el radio de la tierra, que sería la distancia del objeto al centro de la tierra, entonces el valor de la masa de la tierra es conocido.

ecuación60.png

De esta manera es posible calcular también la masa de la luna o de cualquier otro planeta, utilizando el peso y la expresión de la atracción gravitacional siendo que en física las mediciones directas son tan importantes como las mediciones indirectas.

 

UBICACIÓN DE UN SATELITE SUSPENDIDO

Si se quiere establecer un satélite suspendido en el espacio y que esté cerca de la tierra y que además no tenga rozamiento, es necesario comenzar con conocer en que posición respecto a la tierra tiene que estar para que el periodo coincida con un tiempo T=24 horas y desde la tierra se vea en la misma posición.

Imagen41.png

La velocidad del satélite a una distancia r de la tierra, y su aceleración centrípeta, considerando su movimiento como circular uniforme, vienen dadas como:

ecuación61.png

Juntando las ecuaciones:

ecuación62.png

Luego, la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite a la distancia r permite obtener otra expresión para la aceleración:

ecuación63.png

Y  la fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite a la distancia R, es decir justo sobre la superficie de la tierra, permite obtener una expresión para MG igualando al peso:

ecuación64.png

Luego reemplazando el valor de GM en la expresión obtenida para la aceleración desde la atracción gravitacional:

ecuación65.png

Finalmente al juntar las expresiones de la aceleración encerradas en los recuadros azules:

ecuación66.png

Es decir que el satélite tiene que estar una distancia dada por la expresión anterior, que al conocer el valor de cada número se obtiene:

ecuación67.png

Para obtener este valor se consideró el movimiento del satélite alrededor de la tierra como un movimiento circular uniforme y por tanto existe una fuerza centrípeta que permite el movimiento y que corresponde a la fuerza gravitacional.

La velocidad del satélite se puede obtener también de las diferentes expresiones que se encontraron para la aceleración.

ecuación68.png

Esta velocidad disminuye en la medida que se incrementa la altura a la que se establece el satélite, además, este satélite, que se mueve de tal manera que se mantiene en el mismo punto visto desde la tierra, se denomina geoestacionario.