CONCEPTOS EN CINEMÁTICA

 

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos despreciando los efectos que lo causan; cada cuerpo descrito en cinemática se representa como un punto material que se mueve en función del tiempo.

Primeramente es conocido que el movimiento está relacionado con el cambio de posición en la medida que transcurre un  intervalo de tiempo, por eso, la longitud y el tiempo son cantidades fundamentales de la cinemática y se refieren a un sistema de referencia seleccionado por convención. Las características cinemáticas internas de un cuerpo no son importantes cuando se quiere estudiar el movimiento del cuerpo como un todo.

Sintetizando, todos los cuerpos en cinemática se mueven como partículas materiales, sin importar cuál sea su tamaño, siempre se representan con un punto con masa asociada que se mueve en el tiempo.

TRAYECTORIA

 

La trayectoria se compone de todos los puntos por lo que pasa una partícula cuando se mueve en un intervalo de tiempo. Si en cada punto se traza un vector de velocidad correspondiente a ese momento en el tiempo, entonces se obtiene una curva envolvente del conjunto de todos los vectores. 

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME  (M.U.R)

 

El movimiento tiene una característica muy especial, la relatividad, y es que dos observadores con sistemas de referencia distintos podrían calcular cantidades como velocidad o aceleración de un objeto, y sus datos podrían diferir dependiendo de sus sistemas de referencia, o incluso el movimiento puede ser percibido diferente por el observador y el objeto.

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El movimiento más simple es en el que un cuerpo se mueve la misma distancia en intervalos de tiempo iguales, por consecuente la rapidez (o velocidad abusando del lenguaje) definida como distancia sobre tiempo se mantiene constante en el movimiento a lo largo de una trayectoria rectilínea; a este tipo de movimiento se denomina Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Ilustración:

Una avioneta vuela en línea recta desde una ciudad a otra siempre a la misma rapidez de 350 km/h. El piloto puede verificar que sin importar que distancia recorra, el cociente entre la distancia y el tiempo que ha recorrido darán como resultado la misma rapidez o magnitud de la velocidad.

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Basados entonces en esa relación de la distancia y el tiempo para medir la rapidez, se puede despejar la distancia, conociendo la rapidez y el tiempo, o el tiempo conociendo la distancia y la rapidez, o bien la rapidez misma conociendo la distancia y el tiempo.

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Una gráfica de rapidez en función del tiempo se ve como se muestra a continuación:

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Se precisa de la gráfica que para el tiempo t=0 hay una “velocidad” inicial y se mantiene durante todo el recorrido, lo que indica que el movimiento del cuerpo descrito en la gráfica corresponde a un movimiento uniforme. Al final, lo que se representa en color es el área del rectángulo formado por el valor de la rapidez durante el recorrido y los ejes coordenados de V y t, por lo que esta área, siendo el producto de lado por lado (V x t), representa la distancia recorrida por el cuerpo en ese intervalo de tiempo.

Ilustración:

Un automóvil se mueve siguiendo la gráfica de rapidez (v) mostrada en la figura.

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De la gráfica se entiende que el automóvil comenzó moviéndose con una rapidez de 5 m/s hasta los 40 segundos, pero luego, súbitamente aceleró hasta llegar a una rapidez de  8 m/s manteniéndose así hasta los próximos 80 segundos para finalmente, mediante el freno, reducir su rapidez a los 5 m/s hasta el segundo 125 donde detuvo el recorrido.

En esta ilustración el movimiento no se mantiene uniforme durante todo el recorrido, pues es claro que cambia la rapidez  dos veces, por  lo que la distancia recorrida durante los 125 segundos no puede calcularse multiplicando 5 m/s x 125 s, pero si puede calcularse en los tramos en los que se mantuvo constante la rapidez y luego sumar los resultados de la distancia.

Para el tramo 1 llamaremos d1 la distancia recorrida, d2 para el tramo 2 y d3 para el 3.

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Luego 80 s – 40 s = 40 s, que corresponde al tiempo solo del segundo tramo.

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Finalmente 125 s – 80 s = 45 s

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Por lo que la distancia total recorrida por el automóvil en los 125 segundos será

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VELOCIDAD

 

 La velocidad, estrictamente hablando, corresponde a un vector que tiene asociada una rapidez y una dirección, por eso en el M.U.R siempre se habló de la rapidez, porque la velocidad correctamente definida es un vector cuya magnitud es a lo que se ha denominado rapidez.

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La rapidez es una cantidad escalar al igual que el tiempo, mientras que el desplazamiento es también un vector como la velocidad.

La rapidez de un movimiento que se mantiene puede ser calculada encontrando la diferencia entre dos posiciones, inicial y final, y la diferencia entre los tiempos a los cuales se registra cada posición.

Ilustración:  

Un ciclista comienza un recorrido de dos kilómetros y un aficionado lo sigue midiendo el tiempo y el recorrido que lleva. Cuando el ciclista ha pedaleado solo 7 minutos el aficionado le dice que ha recorrido 140 m y tiempo después cuando ya ha pedaleado una hora le dice que ha recorrido 1200 m.

Primero es necesario establecer un mismo conjunto de unidades, por lo que se expresa 1 hora en términos de minutos

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La rapidez es entonces

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En una gráfica de distancia recorrida en función del tiempo, la rapidez constante se ve como una línea recta o una función lineal.

Si se calcula la pendiente tomando dos puntos de la recta se obtiene

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Se ve con claridad que la constante de proporcionalidad entre las variables de distancia y tiempo es el valor de la rapidez, pues la expresión para determinar la pendiente es exactamente igual a la definición de la velocidad promedio vista antes.

La velocidad relaciona la longitud y el tiempo, por lo que la unidad de la velocidad, o bien la rapidez, será una unidad de longitud sobre una unidad de tiempo.

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En el sistema internacional MKS

En la práctica suele usarse Km/h como unidad de velocidad, en la navegación fluvial se usa el nudo y equivale a 1,852 km/h  y  en vehículos con velocidades supersónicas, el Match, equivalente a 1,224 Km/h.

VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media, o más precisamente rapidez media, es la distancia que ha recorrido un cuerpo dividida en la por el tiempo empleado en el recorrido sin considerar los posibles cambios de rapidez en el transcurso del viaje.

Ilustración.

Cuando un corredor completa un recorrido de 20 km en 4 horas se dice que la rapidez con la que se movió fue de 5 km/h, pero este dato no ha tomado en consideración que el corredor se detuvo varias veces a hidratarse y que en cierto punto tropezó y cayó, además a veces e movió rápido y otras veces despacio, entonces, ese dato de velocidad o más precisamente rapidez es realmente una velocidad media.

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Cuando la aceleración es constante y se conocen las velocidades inicial y final, la velocidad media se calcula como

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VELOCIDAD INSTANTANEA

La velocidad instantánea a diferencia de la velocidad media, calcula la velocidad en un punto particular de un movimiento. Esta velocidad se calcula con precisión utilizando lo que se conoce como derivada de la posición con respecto al tiempo, sin embargo es un tema que se desarrolla con detalle en un nivel mas avanzado de física.

Para comenzar a revisar los movimientos acelerados es necesario definir la aceleración y reconocer sus unidades. La definición de aceleración surge como consecuencia inmediata de la inconsistencia en la velocidad de un movimiento; la variación de la velocidad con respecto al tiempo es a lo que se conoce como aceleración, por lo que al conocer dos valores de rapidez en un intervalo corto de tiempo se obtiene la aceleración.

ACELERACIÓN

 
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Siendo  Δel tiempo en el que se produce el cambio a las velocidades mostradas en la ecuación.

Ilustración:

Un auto deportivo se mueve con distintas velocidades a lo largo de un segmento de autopista y una cámara de la policía de tránsito capta la velocidad del vehículo en dos instantes de tiempo registrando las velocidades de v1=10 m/s en el primer instante, y v2=70 m/s cuando habían pasado 12 segundos.

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La aceleración del auto deportivo será entonces

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Indicando que la rapidez del auto incrementa 5 m/s cada segundo.

Cuando la rapidez cambia a un valor menor, la diferencia entre las dos velocidades será negativa y por tanto la aceleración también lo será. En este caso el movimiento se dice que es retardado o desacelerado.

 

Ilustración:

Un auto deportivo se mueve con distintas velocidades a lo largo de un segmento de autopista y una cámara de la policía de tránsito capta la velocidad del vehículo en dos instantes de tiempo registrando las velocidades de v1=70 m/s en el primer instante, y v2=10 m/s cuando han pasado 12 segundos.

La aceleración del auto deportivo será entonces

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Indicando que la rapidez del auto disminuye 5 m/s cada segundo.

 

Cuando hay aceleración y se mantiene constante, la gráfica de velocidad en función del tiempo es como se muestra a continuación.

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La pendiente de esta gráfica de rapidez (velocidad) en función del tiempo es la aceleración pues así como la gráfica de distancia en función del tiempo la pendiente se calcula eligiendo dos puntos y haciendo el cociente entre los instantes de tiempo, por esto se obtiene la siguiente relación.

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El área bajo la recta de la gráfica corresponde a la distancia recorrida por el cuerpo que describe el movimiento de la gráfica pues si se observa con cuidado forma un triángulo rectángulo con el eje de tiempo. Conociendo que el área del triángulo es base por altura dividida en 2, entonces:

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Siendo que en la gráfica Vi=0.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.U.A)

 

En un movimiento con aceleración constante, el cuerpo que se mueve incrementa o disminuye su velocidad de acuerdo a la aceleración que tenga, positiva o negativa. Como se ha mostrado antes, la ecuación para encontrar la aceleración a partir de dos valores de velocidad viene dada como se muestra a continuación.

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Es fácil ver que la ecuación encontrada describe una gráfica lineal para la velocidad con un punto de corte en V0 correspondiente a la velocidad inicial de un cuerpo.

Mediante la ecuación anterior se puede encontrar entonces la rapidez final en un movimiento conociendo el tiempo que transcurre desde el momento inicial, la aceleración propia y la rapidez inicial. Además, en complemento de la ecuación para la distancia encontrada en la sección de aceleración, cuando la velocidad inicial es diferente de cero entonces es necesario sumar el área adicional debajo de la curva de velocidad.

Área del triángulo azul claro:

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Área del rectángulo azul oscuro:

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Luego la distancia recorrida por el cuerpo será:

Es también importante tener una ecuación que no tenga una dependencia temporal directa, pues se ve que todas las que se han relacionado antes el tiempo hace parte de las variables conocidas para encontrar la distancia o la rapidez. Por ello, partiendo de las ecuaciones encontradas se puede obtener una relación diferente.

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Reemplazando la expresión para t en la otra ecuación

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CAIDA LIBRE

 

Se ha visto  que los movimientos pueden ser acelerados o desacelerados dependiendo del signo de la aceleración, y el fenómeno de caída de los cuerpos es una aplicación clara de este tipo de movimientos. Dejar caer una piedra o lanzarla hacia arriba son un caso de movimiento acelerado y desacelerado respectivamente, pues la aceleración de la gravedad se considera constante en las proximidades de la superficie terrestre y siempre está dirigida hacia el centro del planeta.

La caída de los cuerpos ha sido objeto de estudio desde el tiempo de los primeros filósofos; Aristóteles por ejemplo, en el año 300 antes de Cristo, pensó que dos cuerpos con pesos diferentes que cayeran simultáneamente desde la misma altura tendrían una diferencia en el momento de llegada, y que sería el cuerpo más pesado el primero en tocar el suelo. La teoría de Aristóteles se mantuvo como un principio básico de la naturaleza durante al menos 2.000 años, hasta que Galileo Galilei (1564-1642), basado en un estudio del movimiento pendular, encontró que no importa cuál sea el peso de los dos cuerpos que se dejan caer desde una misma altura y por supuesto, bajo las mismas condiciones, siempre caerán al mismo tiempo.

Una historia curiosa y muy famosa acerca de la conclusión de Galileo, es aquella de la torre inclinada de Pisa, de donde supuestamente Galileo dejo caer varias esferas buscando hacer una demostración experimental de su teoría encontrando que efectivamente todas caen con la misma velocidad y al mismo tiempo, y que por tanto, los movimientos de caída libre pueden ser descritos conociendo la aceleración de la gravedad y la altura.

El movimiento de caída libre es entonces un caso particular de un movimiento uniformemente acelerado en el que la velocidad inicial de un cuerpo es cero (es cero porque se deja caer). La aceleración de la gravedad (g) en cualquier lugar del mundo se considera igual, aunque la realidad es que disminuye con la altura, pero los cambios son muy pequeños y por tanto despreciables en términos prácticos.

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Esta expresión indica que cuando un cuerpo cae, su velocidad aumenta en 9,8 m/s  cada segundo, y si un cuerpo se lanza hacia arriba verticalmente su velocidad disminuye en 9,8 m/s cada segundo. Cabe mencionar que este valor de aceleración de la gravedad es una forma aproximada, a veces se usa 10 m/s2, y también es necesario hacer la aclaración de que el resultado que mostró Galileo es exacto cuando se está en el vació; en condiciones normales, donde hay aire, un cuerpo que interactúe mucho con las corrientes va generar un retraso en la caída del cuerpo, por eso si se replica el experimento dejando caer una canica y una hoja de papel desde un escritorio, no se va a apreciar el fenómeno, pero si se hace dentro de un tuvo al vació puede verse perfectamente, o simplemente hace falta elegir dos objetos cuya forma reduzca la resistencia del aire, como dos esferas de acero de diferente tamaño, para percibir la caída simultanea de los dos cuerpos en el suelo.

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La caída libre rigurosamente definida, es el movimiento de un cuerpo en un campo gravitacional, bajo la acción exclusiva de la gravedad, decir, que en otros planetas, bajo condiciones de vacío, la caída libre se estudia con una aceleración distinta pero completamente acertada.

Ilustración:

Un estudiante que quiere conocer la altura de un edifico deja caer una piedra desde la terraza del mismo y escucha el momento del impacto en el suelo luego de 3 segundos. El estudiante puede conocer  la altura aproximada del edificio si desprecia el tiempo en que tarda el sonido en llegar a su oído, para ello recurre a las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, o más precisamente al caso de caída libre donde la velocidad inicial es cero. Se considera la dirección positiva hacia abajo.

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Después de conocer la altura del edificio, el estudiante se pregunta con que velocidad llegó la piedra al suelo, por esto, recurre a otra ecuación del movimiento uniformemente acelerado.

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Ilustración:

Un astronauta que  está en la luna lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 16 m/s como parte de un experimento para estudiar la gravedad de este satélite natural. Además del dato de velocidad de lanzamiento, o rapidez inicial, se sabe que tardó 10 segundos hasta llegar al punto más alto de su trayectoria. Con esto se requiere encontrar la gravedad y la altura que alcanzó el objeto en la luna y la altura que alcanzaría en la tierra.

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Como el movimiento es hacia arriba, en este sistema de referencia la aceleración de la gravedad lunar se designa negativa por convención.

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Conociendo ya la aceleración de la gravedad en la luna la ecuación que relaciona la distancia permite encontrar la altura máxima.

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Este resultado puede encontrarse utilizando también la relación que excluye al tiempo como variable explicita.

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Finalmente si fuese en la tierra donde se realiza el experimento, la aceleración de la gravedad tendría el valor de 9,8 m/s,  y el tiempo no es un dato conocido, entonces:

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Se concluye que entonces el objeto del experimento en la luna alcanzaría en la tierra una altura de casi 1/6 de la que alcanza en la luna.

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

 

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo en dos dimensiones, sus vectores de velocidad y aceleración, al igual que la posición o el desplazamiento, se describen por sus componentes en los dos ejes coordenados X y Y, y por consiguiente el movimiento puede describirse como una suma de los movimientos individuales en cada una de las dos dimensiones.

Ilustración:

Una esfera de billar es lanzada horizontalmente sobre una superficie muy lisa y se estudia su movimiento hasta que llega al suelo luego de caer por una de los extremos de la mesa.

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Si no existiera la aceleración del a gravedad, la esfera seguiría horizontalmente al terminar el extremo de la mesa, y si en cambio, por otro lado, la velocidad inicial fuese cero, en el extremo de la mesa la esfera caería libremente por la atracción gravitacional y la distancia recorrida se expresaría por el movimiento uniformemente acelerado como

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Pero la realidad es que ninguno de los dos movimientos sucede individualmente, sino que por el contrario pasan simultáneamente dando  origen a lo que se conoce como un movimiento parabólico, y las ecuaciones a considerar sobre cada eje coordenado son:

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como el movimiento se realiza al mismo tiempo, se puede despejar la variable t de una de las ecuaciones y sustituirse en la otra.

Siendo la última expresión la ecuación de una parábola.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

El movimiento parabólico es definitivamente un movimiento en dos dimensiones, por lo que todas las propiedades cinemáticas se pueden escribir en términos de las dos direcciones, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son un ejemplo claro.

Los cuerpos que se lanzan recorren siempre una línea curva denominada parábola, y aparece como la suma de dos movimientos simultáneos en cada dirección; horizontalmente no hay ningún tipo de aceleración cuando se considera libre de rozamiento, por lo que el movimiento es uniformemente rectilíneo, pero verticalmente, la aceleración de la gravedad caracteriza el movimiento como uniforme acelerado.  Observando las dos ecuaciones para cada movimiento, se ve que el cuerpo que se lanza se moverá v0t horizontalmente y  gt /2 hacia abajo.

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Es decir que si para diferentes tiempos consecutivos t, se hace la suma de los dos vectores dados por el desplazamiento en x  y en y, se encontrará la posición real del cuerpo lanzado, y cuantos más puntos de tiempo sean incluidos, más precisa será la trayectoria dibujada.

 

Si se quiere conocer la velocidad inicial de un proyectil que describe una trayectoria parabólica completa, es necesario encontrar cada una de sus componentes como una proyección en los ejes correspondientes.

 
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En el problema, o bien se tienen las proyecciones de la velocidad en cada eje o la magnitud del vector velocidad y el ángulo de inclinación; la solución depende de los datos asignados o conocidos en el problema.

Por su lado, el proyectil se mueve hacia arriba alcanzando una altura dado por la ecuación de M.U.A:

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Cuando se juntan los desplazamientos horizontal y vertical se obtiene una descripción completa del movimiento.

Ilustración:

Se quiere lograr que la distancia horizontal alcanzada por un proyectil sea máxima, para ello es necesario comenzar por descomponer una velocidad inicial cuya dirección es desconocida en sus componentes.

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El tiempo desde el momento del disparo hasta el momento en que el proyectil alcance su punto máximo se puede obtener de la velocidad vertical.

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Como el tiempo de subida del proyectil es el mismo tiempo de bajada, entonces el tiempo de vuelo será

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Finalmente, este tiempo es también del viaje horizontalmente, que es uniforme rectilíneo, por tanto el alcance máximo será:

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El resultado depende del producto de las velocidades horizontal y vertical, y se obtiene desde un análisis geométrico donde las componentes de la velocidad, vx y vy , forman un rectángulo en el que la diagonal representa la velocidad v0 y el producto de vx y vy  corresponde al área del rectángulo.

Siendo entonces que se conoce la diagonal, se debe encontrar cuales son los valores de los lados de este rectángulo que al ser multiplicados dan el valor máximo, y en la geometría este problema está resuelto mostrando que el mayor valor se obtiene para un cuadrado, donde se tiene la condición de vx = vy. De esta manera la diagonal permite obtener los valores si se estudia el teorema de Pitágoras.

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Luego

Y el ángulo para el máximo alcance será 45°.

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Ya se ha discutido que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales, en la trayectoria que sigue una partícula se puede identificar el vector velocidad instantánea en cada punto sobre la trayectoria como un vector tangente a la curva en ese punto y cuyo sentido se define por el sentido propio de la partícula o cuerpo que se mueve. Una vez que se conoce el vector velocidad en cada instante se puede conocer la dirección y el sentido del movimiento.

La aceleración se define como el cambio de la velocidad con respecto al tiempo; como la aceleración es también una magnitud vectorial, puede descomponerse en dos vectores aceleración asociados al movimiento. Los cambios en la magnitud de la velocidad se relacionan a la denominada aceleración tangencial, mientras que los cambios en la dirección de la velocidad se relacionan a la aceleración normal.

La magnitud de la velocidad de un movimiento puede permanecer constante y sin embargo aparecer una aceleración, la aceleración normal, y es el caso por ejemplo en el que un carro hace una curva. El caso simple en el que un cuerpo se mueve en línea recta pero experimenta un cambio en la magnitud de la velocidad o la rapidez es el caso en el que la aceleración sería únicamente tangencial.

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Las componentes de aceleración normal y la velocidad tangencial siempre son perpendiculares.

ACELERACIÓN CENTRÍPETA O NORMAL

En la figura a continuación se muestra la posición y la velocidad de una partícula en dos tiempos distintos a lo largo de una trayectoria de sección circular con radio R. El intervalo de tiempo en el que ocurre el desplazamiento de la partícula es muy pequeño  , y así mismo el desplazamiento también es pequeño  .

Si se calcula la diferencia entre las velocidades final e inicial se obtiene el cambio pequeño de velocidad.

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Como la aceleración puede verse como el cambio de la velocidad sobre el cambio en el tiempo, se tiene:

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Y se ve que la dirección está definida por la dirección de  que es próxima a apuntar hacia el centro, que es preciso en el límite de 

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

El movimiento circular uniforme se caracteriza por conservar constante la magnitud de la velocidad y describir trayectorias circulares en el movimiento. El espacio recorrido por una partícula es el de la longitud de una circunferencia 2πrn , con r el radio de la circunferencia y n el número de vueltas. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa se denomina periodo y se representa por la letra T, mientras que su inverso es la frecuencia representada con la letra f  y corresponde al número de vueltas efectuadas por la partícula por unidad de tiempo.

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Partiendo de la expresión general para la rapidez de un movimiento se llega a la expresión particular del movimiento circular:

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En el caso particular en que n=1, es decir que se da solo una vuelta, entonces:

 

O bien, en términos generales se escribe:

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Si se observa con detalle, se ve que dos objetos ubicados en los puntos A y B de un movimiento circular que se mueven simultáneamente tienen la misma velocidad angularmente, pero la distancia que recorre cada una es diferente, por lo que  las velocidades difieren.

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La velocidad angular representada con ω es la velocidad con la que se barre un ángulo en una unidad de tiempo, y en el caso presentado antes los ángulos de barrido de las dos partículas son iguales, pero la distancia que tiene que recorrer la partícula A es mayor que la partícula B en el mismo tiempo, lo que significa que la velocidad lineal de la partícula A es mayor.

Tanto la velocidad angular como la velocidad lineal son magnitudes vectoriales y sus direcciones están perfectamente definidas.

VELOCIDAD ANGULAR

El vector de velocidad angular siempre está dirigido perpendicularmente al plano del movimiento y siguiendo la regla de la mano derecha.

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Como corresponde al ángulo máximo barrido en un movimiento circular por el radio R de la trayectoria, y T el periodo o tiempo en dar esa vuelta, se define esta velocidad como:

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En este movimiento, como la magnitud de la velocidad es constante, la aceleración tangencial es nula y solo hay un efecto de aceleración determinado por la aceleración normal o centrípeta, y se define como:

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En general en los movimientos curvilíneos la velocidad siempre sufre cambios, por lo que todos son movimientos  acelerados, si no son cambios en la magnitud son cambios en la dirección.

La aceleración centrípeta aparece como causante de la trayectoria circular en el movimiento circular uniforme, ésta siempre apunta hacia el centro de la circunferencia y su magnitud es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad lineal o tangencial.

Para mostrar la expresión de la aceleración centrípeta se puede considerar el movimiento de una partícula arbitraria y ubicar la atención en dos puntos particulares A y B muy cerca uno del otro.

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Se reconoce que la diferencia geométrica entre los vectores velocidad forma un triángulo semejante al triángulo del interior dibujado en la circunferencia valiéndose de la relación para la velocidad lineal, además se puede mostrar que el ángulo  ∆θ es el mismo.

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Luego por relación de semejanza:

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Al dividir ambas expresiones por el intervalo de tiempo

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